【微积分】1-3 极限运算法则

无穷小与无穷大

Important

定理1: 有限个无穷小的和也是无穷小.

定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1: 常数与无穷小的乘积也是无穷小.

推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

定理3: 如果 \(\lim f(x) = A, \lim g(x) = B\), 那么:

1. \(\lim [f(x)\pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x)\)

2. \(\lim [f(x)*g(x)] = \lim f(x) * \lim g(x)\)

3. \(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B} (B\neq 0)\)

定理4: 设有数列 \({X_n}, {Y_n}\), 如果 \(\lim_{n\rightarrow\infty} X_n = A, \lim_{n\rightarrow\infty} Y_n = B\), 那么:

1. \(\lim_{n\rightarrow\infty} (X_n\pm Y_n) = A\pm B\)

2. \(\lim_{n\rightarrow\infty} (X_n * Y_n) = A * B\)

3. \(\lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{X_n}{Y_n}) = \frac{A}{B} (Y_n\neq 0, B\neq 0)\)

定理5: 如果 \(\varphi(x)\ge\psi(x), 而 \lim\varphi(x) = a, \lim\psi(x) = b, 那么 a\ge b\) .

定理6(复合函数的极限运算法则): 设函数 \(y = f[g(x)]\) 是由函数 \(u=g(x)\) 与函数 \(y=f(x)\) 复合而成, \(f[g(x)]\) 在点 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义, 若 \(\lim_{x\rightarrow x_0} g(x) = u_0, \lim_{u\rightarrow u_0} f(u) = A\) , 且存在 \(\delta_0 > 0, 当 x\in\mathring{U}(x_0, \delta_0)时, 有g(x)\neq u_0\) 则

\(\lim_{x\rightarrow x_0} f[g(x)] = \lim_{u\rightarrow u_0} f(u) = A\)