【微积分】1-1 极限

TODO: 前言

函数极限

函数极限的定义

在自变量的某个 变化过程 中, 如果对应的函数值无限接近于某个 确定的数 , 那么这个 确定的数 就叫做在这一 变化过程 中函数的 极限.

Important

自变量趋于有限值时函数当极限

定义(1-1): 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 点某一 去心邻域 内有定义. 如果存在常数 \(A\) , 对于任意给定的正数 \(\epsilon\) (不论它多么小), 总存在正数 \(\delta\) , 使得当 \(x\) 满足不等式 \(0<|x - x_0| < \delta\) 时, 对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式

\(|f(x) - A| < \epsilon\)

那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\rightarrow x_0\) 时的 极限 , 记作

\(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\) 或 \(f(x)\rightarrow A(当x\rightarrow x_0)\)

上述定义可以简单的表述为:

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, 当 0 < |x - x_0| < \delta 时, 有 |f(x) - A| < \epsilon\]

自变量趋于无穷大时函数当极限

定义(1-2): 设函数 \(f(x)\) 当 \(|x|\) 大于某一正数时有定义. 如果存在常数 \(A\) , 对于任意给定的正数 \(\epsilon\) (不论它多么小), 总存在正数 \(X\) , 使得当 \(x\) 满足不等式 \(|x| > X\) 时, 对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式

\(|f(x) - A| < \epsilon\)

那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\rightarrow \infty\) 时的 极限 , 记作

\(\lim_{x\to\infty}f(x)=A\) 或 \(f(x)\rightarrow A(当x\rightarrow\infty)\)

上述定义可以简单当表述为:

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists X > 0, 当 |x| > X 时, 有 |f(x) - A| < \epsilon\]

函数极限的性质

一些比较有用的 函数极限 的性质:

定理(1-1): 函数极限的唯一性

如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 存在, 那么这极限唯一.

定理(1-2): 函数极限的局部有界性

如果 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\), 那么存在常数 \(M>0\) 和 \(\delta>0\), 使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时, 有 \(|f(x)|\le M\) .

定理(1-3): 函数极限的局部保号性

如果 \(f(x)=A\), 且 \(A>0(或A<0)\) , 那么存在常数 \(\delta>0\) , 使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时, 有 \(f(x)>0(或f(x)<0)\) .

推论: 如果在 \(x_0\) 的某一去中心邻域内 \(f(x)\ge 0(或f(x)\le 0)\) , 而且 \(\lim_{x\to x_0}f(x) = A\) , 那么 \(A\ge 0(或A\le 0)\) .

定理(1-4): 函数极限和数列极限的关系

TODO