【微积分】1-2 无穷

无穷小与无穷大

Important

无穷小

定义(1-3): 如果函数 \(f(x)当x\rightarrow x_0(或x\rightarrow\infty)\) 时的极限为零, 那么称函数 \(f(x)\) 为当 \(x\rightarrow x_0(或x\rightarrow\infty)\) 时的 无穷小.

定理(1-5): 在自变量的同一变化过程 \(x\rightarrow x_0(或x\rightarrow\infty)\) 中, 函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件是 \(f(x) = A + \alpha\) , 其中 \(\alpha\) 是无穷小.

证明:

充分性: \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Rightarrow f(x) = A + \alpha\)

\(\because \forall\epsilon > 0, \exists\delta > 0, 当|x - x_0| < \delta时\) , 有

\(|f(x) - A| < \epsilon\)

令 \(\alpha = f(x) - A\) , 则有 \(|\alpha - 0| < \epsilon\) , 那么

\(\lim_{x\to x_0}\alpha = 0\)

这就证明了 \(f(x)在x\rightarrow x_0(或x\rightarrow\infty)\) 时等价于 \(A + \alpha\)

必要性:

简单, 略

无穷大

定义(1-4): 设函数 \(f(x)在x_0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义).\) 如果对于任意给定的正数 \(M(不论它多么大)\) , 总存在正数 \(\delta(或正数X)\), 只要 \(x\) 适合不等式 \(0<|x - x_0| < \delta(或|x| > X)\) , 对应的函数值 \(f(x)\) 总满足不等式

\(|f(x)| > M\)

则称函数 \(f(x)\) 为当 \(x\rightarrow x_0(或x\rightarrow\infty)\) 时的无穷大.